\ol. \l. Serie 2.^ 
ATTI DELLA R. ACCADEML\ 
DKLLE SCIENZE FISICHE E MATEMATICHE 
ALCUiNE FORMOLE LELLA MECCAMCA DEI FLUIDI 
IX UNO SPAZIO A TRE DIMENSIONI DI CURVATURA COSTANTE 
Nota II. 
di DOMENICO DE FRANCESCO 
pi-esevtata uell'adunoK ta del di 7 Giugno 1902 
Oggetto di questa Nota è dì stabilire le foi-mole che definiscono analitica- 
mente il moto rotazionale in uno spazio a tre dimensioni di curvatura costante, 
e di mostrare come talune formule del Beltrami, sebbene stabilite nell'ipotesi 
dello spazio euclideo, valgano anche per spazi non euclidei. 
1. 11 Beltrami nella sua Memoria Sai 2^rinci>ji fonda meatali deìP Idrodina- 
mica razionai'.' *) dimostrò che « coìisid^'rando due stati qualunque d'una medesima 
particella fluida in moto, esiste sempre una (ed in generale una sola) terna di di- 
rezioni ortogonali mi primo stato della particella^ die si trasforma in una terna 
di direzioni pure ortogonali nel secondo stato della particella medesima. Questo teo- 
rema può estendersi ad uno spazio non euclideo, perchè le formule che lo dimo- 
strano valgono in generale per uno spazio qualunque, considerando che nei limiti 
d'una particella infinitesima gli spazi di curvatura contante sono coincidenti '"). 
Da questa proprietà risulta che la terna ortogonale (rette principali}, relativa 
al punto ^ìiiC , y , z , u) ed all'istante t, si sposta nel tempuscolo /, come se fosse 
rigida, e quindi il moto di questa terna rispetto al suo vertice si riduce ad una 
rotazione istantanea ic intorno ad un asse passante pel vertice stesso. 
Determineremo, seguendo il metc>do del Beltrami, le componenti / di 
questa rotazione secondo tre assi ortogonali Miti^, aventi F or-gine nel punto 
*) Memorie dell'Acc. di Bologna, serie IH, voi. I, 1871. 
**) Questo teorema, come osservò io stesso Beltrami, fiitta asiPi'.zione dall'enunciato, corrisponde 
nello spazio a tre dimensioni a quello che per le snpeificie fu enunciato dal Tissot e dimosTafo dal 
Di ni. Esso nii pare si possa estendere alle omografie con questo enunriato: Consiilruniìu due punti 
omologhi qualunque di' due fpazi omografici, esiste sempre una (ed in generale una sola) terna di 
direzioni ortogonali, tirate da uno dei punt>, che é omologa ad una terna di direzioni ortogoiiali 
tirate dall'altro punto. 
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