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2. —Ciò premesso, si rappresenti momentaneamente con n il massimo intero che 
non supera poi si prenda u(oo,t) — u^{x) , v{x ,t) = v^{co), dimodoché 
u (x) = Wo (^) + «, (aj) + Wj (a?) + . . . , V (x) = (x) + {x) + («) + .. . 
Per u{x) e v{oo) possiamo dunque assumere due serie di funzioni, convergenti a de- 
stra di ìPq, e tali che, per ce tendente ad Xo, le loro somme aumentino indefinitamente. 
Se il rapporto dei termini generali tende uniformemente ad un limite, che a sua volta, 
per X tendente ad x^, ammette un limite k, è vera la (I). Nelle coppie di serie, che avre- 
mo a considerare, quasi sempre accade che il rapporto dei termini generali non cessa ■ 
di oscillare. Di qui la necessità di surrogare il teorema (1) con una più ampia proposi- 
zione. A noi imporla soltanto considerare le serie della seguente forma 
00 co 
0 0 
in cui «o>"i>"3^--- P^*" continua a valere la (1) quando il rapporto di a„ a b„ 
non tende ad un limite , purché quello di a^-\- a^-\- . . . -\- a^_^ a &o + ^ + • • • + K-t 
metta, per n infinito, un limite k. Infatti si ha identicamente 
co 00 
« (^) = 2 («0 + «1 + • • • + «n-l) i^n-i - «n) , ^ = 2 (-^0 + h + ■ ■ ' + K-ù ÌK-ì " "n) . 
0 0 
e per le ipotesi fatte è applicabile il teorema (1), che dà 
lim = lim ^o + ^.+^^ + ... + ^„_^ ^ ^3. 
quando esiste il secondo membro. Finalmente si osservi che questa eguaglianza sus- 
siste ancora se nelle serie (2) si molliplicano i coefficienti a„ e hn per una e^, ed in pari 
tempo si divide 'j„ per t^, purché le costanti vadano crescendo, 0 decrescano 
meno rapidamente di per qualunque valore di co. In tali condizioni si potrà 
scrivere 
sempre che esista il secondo membro. 
3. — In seguito incontreremo frequentemente la serie 
s(a;) = 1 + ^ + + + , 
convergente, come si sa, per a>> 1, divergente per co =: 1. Il contegno di s{x) a destra 
di 1 emerge dalla formola 
s(x)=-^ + c-c,(x-i) + c^ix-\r-C,(x-ir + ... (5) 
X — 1 
