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se i numeri a tendono ad un limite A', o pure se si ha soltanto 
lim l(a, + «, + «3+. . . + a„)=A, 
si potrà asserire, in virtù di (3), che 
ìim (x — ì) u(x) = k (8) 
Più generalmente, per una conveniente scella dei coefficienti e, 
perchè il primo membro, quando esiste, non può differire, in virtù di (4), dal primo 
membro di (8). Per esempio 
lira ? —=k, K„ ^i+2^, + 3a3 + ... + na„ ^ k 
n=» log» n*"*' r+1' 
Quando, in particolare, si suppone che sia 1 0 0 secondo che n appartiene 0 no ad 
un dato sistema di numeri interi \<ììì<^\<Z . . . , di frequenza =t>»0,sì ritrova l'egua- 
glianza assintotica 
I4.I + Ì4. - - 
ce I ce 1 X I • • • • , f 
Il tg 13 ^ — 1 
segnalata *) da Dirichlet, e si vede che si ha pure, assintoticamente, 
f +f + f + ..-.4-l = -logn , f,+ t% + f3 + .... + i'„=— ^^(10) 
§ 2. — Preliminari aritmetici. 
5. — Data una funzione arilmelica f(ìi), chiameremo funzione integrale di f{n) e 
rappresenteremo con la somma dei valori che la funzione stessa assume corrispon- 
dentemente a tutti i divisori di n. Chiameremo invece derivata di f{ìi) e rappresenteremo 
con quella funzione che amm^Ute /"(«) come funzione integrale. Per esempio 
designa, conformemente all'antica segnatura di Eulero, la somma dei divisori di n, 
mentre Z)« non è che la funzione di Gauss, 9(n), che indica quanti numeri non supe- 
riori ad n sono primi con n. Ciò premesso, è facile dimostrare, con una conveniente 
moltiplicazione di serie, che 
^r(n)_ 1 ^Sf{n)_ 1 'Sfr(n)_ ' 
2à rf s{x)2à n" s\x)2à rf ^ ' 
*) € Lezioni sulla teoria dei numeri » (trad. Faifofer, p. 302). 
