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6. — Più generalmente, se si decompone n nel prodotto di r numeri a , a', a", .. . 
è utile indicare con un simbolo speciale la somma dei valori f{a)g{d)h{a)... che as- 
sume il prodotto di r funzioni, corrispondentemente a tutte le decomposizioni possibili. 
Noi adotteremo l'algoritmo 
S fin) * gin) * h{n) * , 
che mette bene in evidenza le notevoli proprietà di simili somme. Questa funzione inte- 
grale composta ha un valore indipendente dall'ordine delle funzioni componenti, e resta 
inalterata anche quando ad alcune di queste funzioni si sostituiscono le rispettive inte- 
grali , purché ad altre, in numero uguale, si sostituiscano le derivate. Per derivare, poi, 
0 per integrare aritmeticamente una funzione integrale composta, basta derivare o inte- 
grare lina delle funzioni componenti. In particolare 
S f(.n) * 9Ìn) — S 9{») * f{n) , ^ f f(n) * g (n) = f :>f(n) * ff (n) , 
Sr(n) * g(n) = S{:f{n) * f g (n)) = f rin) * SSg(n)) = .... (12) 
Di qui si deduce agevolmente la regola di derivazione, mercè l'intervento della funzio- 
ne invertente v.(n), nulla in generale, uguale a41' unità per n— 1 ed a (—1)*" quando n 
è il prodotto di r numeri primi disuguali. La funzione Sif-in) è uguale ad 1 per ed 
è nulla per ogni altro valore di n; quindi //jjl(/ì) = 1. Ciò premesso si ha, per le (12), 
7>f{n) = / fin) * 1 = / [D/-(n) * / |x (n)] = / fin) * v.{n) . 
Similmente, se si cambia f{n) in c) /"(«)> 
3Y(n) = / ^f{n) *]^.{n)=zS f(n) * Djx («) , 
e così proseguendo si perviene alla regola generale per la derivazione aritmetica: 
Finalmente si ha pure, come estensione delle (11), 
y Sfjn) * g{n) * h{n) * ... fj^ y gj^ y ^Jn) 
^ n" ^ rf ^ n"' ^ n" 
§ 3, — Integrazione media. 
7. — Supponiamo che fin) sia la derivata aritmetica d' una funzione a valor medio 
costante, diverso da zero, vale a dire che si abbia 
lim 1 ( Sni) + Sn2) + / /-(S) + .... + Sfin)) = k^0. 
Conveniamo di esprimere ciò scrivendo 
Sf{n) = k , (in media) 
