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Ora si consideri la serie 
X. = 1 A2)log2 4- i/-(3) log3 + 1 /■(4) log4 + (25) 
e si calcoli 
» 00 
h,=2- P («) ^fiVn) log n = 2 S*:^ logn . 
2 n* 
La derivazione analitica di (24) dà 
co 00 
Dunque, per a>=2, 
12 X, 72 X 
e la forinola generale (16) diventa 
12C'\ 12 X, 
ce • 
n , \ &x / . ^ , 12C \ 12 X, 
Sr{^ («)) - ^ - + 2 c + - • 
(26) 
Questa include manifestamente la formola (22), perchè, se si suppone f{n) sempre nul- 
la, tranne per ìi=l, nel qual caso sia f{n)— 1, le serie (23) e (25) danno x=l, Xj = 0, 
e d'altra parte è chiaro che f{d{ìi))=d(o{n). 
18. — La formola (26) risponde anche ad un'altra questione. Se si osserva che i 
massimi comuni divisori di tutte le coppie di divisori conjugati di n sono appunto uguali 
ai valori di 5(w), corrispondenti a tutti i divisori di w, si può facilmente dedurre dal- 
la (26) il numero assintotico delle decomposizioni di n in due fattori, il cui massimo co- 
mmi divisore abbia una data proprietà. Basta supporre f{n) = l quando n appartiene al 
sistema dei numeri che hanno quella proprietà, ed f{n)=0 nel caso opposto. Se, per 
esempio, il sistema è costituito dai multipli di p, si ha 
X r f X. — 
e la (26) dà il numero delle decomposizioni di n ìiel prodotto di due multipli di p ; 
,,(„)=i,(,„.«+.c)=l.e(^.). 
Similmente, se p è il solo valore di n, per cui /"(«) prenda il valore 1, si ha 
