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É poi noto *) dalla teoria delle trascendenti euleriane che l'integrale 
0 
rappresenta appunto la costante di Eulero. Dunque 
lim {f{x) — \og x) = C. 
Ora la (34) diventa 
lim ( V _i log -i— -ì = B — c , 
e Analmente, se si porta questo risultato in (32), dopo avere osservato che, in virtù 
di (5), la differenza fra i logaritmi di s{x) e di ^^"^^^ ^ '^^^^ ^^"^ a? — 1 , si ottiene 
25. — Le celebri /brmofó mp/nc^e di Leg e ndr e, modiflcate e dimostrate**) da 
Tchébychew, Merton s, ecc. sono corollarii naturalissimi delle uguaglianze (32) e 
(35). Se si rappresenta con la totalità dei numeri primi , che non superano n, alla 
eguaglianza (35) si può dare la forma 
'isi 1 iji^ - j = A + B - C . (36) 
2 
Ne segue, assintotlcamente, 
2 ^ = log log « + C — A , 
2 
vale a dire, chiamando momentaneamente p il massimo fra i ^(n) numeri considerali, 
*) Serret, Cours de Calcul , 2'"8écl., t. II, p. 175. 
**) Tchébychew, Journal de L/ouville, 1852, p. 361; Mertens, loc. cit. 
