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Più generalmente, l'applicazione del teorema (9) dà ') 
lim ^^^^ ^ + log 3 + /-(5) log 5 + ... + f{p) log p ■ 
/ (2) + r (3) + /-(4) + ...+/(«) 
per convenienti forme di f{n). Per esempio, se si fa f{n) = 1, si trova che **) il prodotto 
di tutu i numeri primi, non superiori ad n, è assintotico ad e". 
27. — Per andare oltre in queste determinazioni si può continuamente ricorrere al 
solito paragone di serie mediante il teorema fondamentale. Così perSr(n) bisogna in- 
nanzi tutto studiare la prima delle serie 
per paragonarla poi alla seconda. Si ha 
t 3 
e conseguentemente 
<;(x)=zj<7(x) p-^a(a;+l)-| a{x + 2) — ...; 
poi derivando, e trascurando tutto ciò che resta flnilo percepì, possiamo scrivere suc- 
cessivamente 
perchè (co— 1)^ non cresce indeDnilamente a destra di 1. Ora il teorema fondamen- 
tale ci permette di afTermare, con Tchébychew ***), che il rapporto di ^(n)log n — n 
a 3r(n) non può avere, per n infinito, un limite diverso da /. Ammessa l'esistenza di que- 
sto limite si potrà dunque scrivere 
^(«) = , (38) 
log » 1 
28. — Per ottenere una maggiore approssimazione bisogna considerare la funzione 
a — T, che nelle vicinanze di 1 si esprime cosi: 
*) Cfr. Rendiconti dei Lincei, 1888, p. 455. 
**) Cfr. Halphen, Comptes-rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 5 Mars, 1883. 
***) Loc. cii., p. 352. 
