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Trovata W, gì' integrali dell' equazioni (i) saranno 
DW 
= Pi 
■ ■ "v7 
= P,n . 
DW 
= — 
DW 
DW 
Da, 
essendo a , a, , . . . , , le costanti arbitrarie che entrano in W, c b , b, , . . . , b„_, altre 
n costanti arbitrarie. 
Ciò posto, nel caso di un problema a Ire variabili per cui sussistano 1' integrale 
delle forze vive e i tre delle aree, è facile dimostrare come, ricavate dalle tre equazioni 
di Jucobi 
(4) H = a , U^ z^:a, , = a, , 
1 valori di -, , q.^ in funzione di ."Pi^Vzi trinomio 
P/^(l, — "Z/'i'i — (1/^Pi 
sia un differenziale esatto, e che il suo integrale sia una funzione che soddisfa all'equa- 
zione alle derivate parziali H = a, formata nei modo anzidetto. 
Che quel trinomio, ossia 
{Pl'i']^ ■\-P%'^q^ + Pz<h^> — d ( + p/i^) , 
sia un differenziale esalto, è evidente dacché i\ dq^ -\- dq,^-\-p^ dq^ è, pel leurema di 
Jacobi, un differenziale esatto. Quindi dicendo W il suo integrale, sarà 
DW DW DW 
"■=^7, ■ '■=-3^ ■ ''=-^,r 
Che poi W soddisli alT equazione alle derivate parziali 
diviene anche evidente, ove si osservi che le (5) danno i valori di q^q^ licavati dal- 
le (4) e questi valori perciò soddisfano identicamente alle stesse (4) e per conseguenza 
ad H = o , che è la prima di esse. 
E superfluo aggiungere che si giungerebbe a conclusioni analoghe se in luogo di 
ricavare q^q^ dalle (4), se ne fossero ricavate tre altre di diverso indice tra le sei 
