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E quasi superfluo aggiungere che questo delerininanle non mula come non mutano 
le equazioni (32), (33), (34) e (35), se invece di considerare il punto M si considera 
uno degli altri punti M^M^Mj. 
§10. 
Le sei equazioni che nascono dal confronto dei valori di dt espressi con p , p, , p, , 
p3, cioè 
(36) „ . , 
Vb(p) l/F(p,) |/F(p,) VF(p,) 
ove 
F (p) = - (p»- A) (p'-B) (p^ -C) (p*-D) , 
corrispondono ad altfeltante relazioni algebriche che si ottengono dal confronto dei va- 
lori di p* r* espressi con quelle quattro quantità. Tra le diverse forme che si pos- 
sono dare a tali relazioni, notiamo queste: 
(B - C) (p^- A) (pr- A) ^ (C - A) (p*- B) (p,-^- B) ^ ( A - B) f - C) (p/- C ) 
^^7; ^A-I))(p-^-D)(p.-'-l)) (B-D)(p»-l))(p,-^-D) ^C-U)(p^-D)fp3^-D) 
_ (B -C)(C-A)(A — B) 
~(D— Aj(I)-B)(D — C) ' 
e queste altre 
(B-C)(p/-A)(p3^-A) ^ (C-A)rp3^-B)(p.^-B) ^( A-B)(p.'-C)(p,''-C) 
(A - D) (p,'- D) (p3'-D) (B - D) (p3^_ D) (p,'^- D) (C - D) (p,^- D) (p,'- D) 
_ (B— C)(C — A)(A- D) 
■~(D— A)(D — B)(D— C)* 
Queste equazioni evidentemente sono casi particolari dell' integrale algebrico ge- 
nerale dell'equazione 
(36)' 
['F(P) Vf(pJ 
Per trovare quest'integrale generale, ed in pari tempo tutl'i punti M, che hanno 
le stesse proprietà dei punti M, M3, applicheremo il teorema dell' addizione al- 
l'integrale ellittico contenuto nella funzione caratteristica W. 
La funzione caratteristica (34), rimesso 2a:=:DA', a^ = Dh, posto a^ = Dhcoi J, e 
fatta l'integrazione rispetto a X, diviene 
>(7p p'— D 
P y- (p^- A) (p^- B) (p^- C) (p'- D) 
(38) . . . ■w=;,^/^J'^ ^, „ . .^'Z'\ . . ... -^ 
Ìcos X j 
ap sen — — -f- cos J [ar sen (cot X cot J) — IJ^l [ • 
cos J 1 
Riduciamo 1' integrale ellittico, alla forma tipica di Legendre. 
