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Ora siccome le relazioni (37) non mulano, se della quaterna p, p^ p, Pj due elementi 
si mutano negli altri due, così avremo 
(56) 
sen CpjP,) = 
KaD(p,^-B)(p3*-B) 
p,P3l/(D-B)(A-B) 
l/BD(p3^-A)(p,'-A) 
PsP. 1/(D-A)(B-A) 
sen (p, p,) =r 
J/CD(p,»-B)(p,^-B) 
p,p,|/(C — B)(D-B) 
e da queste tenendo conto delle (37) e (38), si trae 
(57) 
sen (pp,) sen (p^pg) _ sen fpp^V^en (p3p,) _ senTp p3)spnfp, p^) 
A(G — B) 
B(A — C) 
C(B — Aj 
^ K(p - D) (p.-' - D) (p,* - D) (Ps^ - D) 
PP.P,P3(D-A)(D-B)(D-C) • 
Una relazione analoga si può avere coi coseni. 
Dalle (57) si trae 
sen fpp,) sen (Pa P,) A(C — B) 
sen (pp,) ■ sen (p^pj ~ B(A — C; ' 
ossia il rapporto anarmonico delle quattro rette p p^ p, p^ è costante ed è indipendente 
dalle costanti arbitrarie*). 
Dalle (50) c (55) si ricava 
* , ^ |/DB(B — C)(p^ — A)(p./- A) 
^g(PP>)-K AC(D-AXp--BHp:--B) - 
e per conseguenza 
, , V |/nB(B -C)(p,^ — A)(p3-' — A) 
<=9' '''<^-°''=K ao(d-am;,'-b);.--b; - 
ed altre due equazioni analoghe, dalle qu;ili si ottiene 
, , , DA B — C 
♦g (pPi) tg (piPs) = -3^ ^37^ > 
DB C— A 
(60) ( tg(p?i)tg(P3p,) = 
♦g(p?3)<g(PiPi)= AB D-C 
CA D — B 
DC A — B 
*) Cfr. Fragments sur la rotation d'un corps tirés des Manuscriis de C. O.J. Jacohi nelle Ja- 
cobi's Jesammelte Werke Zweiter Band. Berlin 1882, pag. 461. 
