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si ottengono le condizioni 
necessarie e sufficienti per l'immobilità del punto (x, y, z). 
Si noti che il primo membro dell'ultima equazione conserva invariato il valore per 
tulle le curve tangenti, in M, alla prima curva. Altrettanto si può dunque dire del se- 
condo membro per tulli i valori dì x e (\\ y, e si ritrovano cosi, nel modo più sem- 
plice, i teoremi di Bonnet e di Meusnier, che atTermano l'invariabilità, per tutte le 
curve considerale, della torsione geodetica e della curvatura normale È utile ri- 
cordare che le quantità "Sj^X^ e la curvatura geodetica sono nulle per le linee di 
curvatura, per le assintotiche e per le geodetiche, rispettivamente. 
Ora prendiamo a considerare due curve della superfìcie, tangenti in M agli assi Ma; 
ed M?/. Siano ^, e i parametri che definiscono queste curve in un sistema di coor- 
dinate curvilinee ortogonali, e distinguiamo con indici 1 e 2 tutto ciò che si riferisce 
all'una o all'altra curva. Siano, in particolare, ds^=Q^dq^ e ds^=Q^dq^ gli archi ele- 
mentari. Le formolo (2) relative alla seconda curva si ottengono dalle stesse (2) cam- 
biando X ei\ y in y e — x, e prendendo col segno opposto la curvatura geodetica. Si 
perviene così alle formole 
(3) (^^=q^cc-^,z , 
<)Z ÒZ ^ 
fondamentali per l'analisi intrinseca delle superfìcie. Per l'esistenza di x occorre e ba- 
sta che si abbia 
Cloe 
i)^cc D*a7 DlogQ, Da; DlogQ, Oa; 
e questa relazione deve sussistere quando ad x si sostituiscono successivamente y e z. 
In particolare, per x=y=.z = 0 , si ottiene 
