e conseguentemente, posto 75—^^ = 
— 3 — 
— 'Sj, le (3) prendono la forma definitiva 
(5) 
ce 
^Ì£>,z — vS. a; — 1 
05, 
poi la (4) dà tre relazioni, che per l'arbitrarietà di x,y, z si riducono alle seguenti: 
t 5. 
-r + -s^ + ^' -r = "S'- 2>Ti), , 
Queste sono le formole di Codazzi. 
Tutta la teoria delle superficie è contenuta nelle formole (5), e ne scaturisce nel 
modo più rapido e naturale. Cosi, per esempio, per una sezione piana normale, la cui 
tangente faccia l'angolo e con Ux, si ha 
ed è noto che, per x.— y = z=0, il primo membro rappresenta la curvatura nel punto 
M. Intanto dalle (5) si trae 
Dunque 
yz _ „ yz ^z 
— z=z^ìo^ cos' 0 — 2 "S cos e sen e + S'TPj sen* 6 
P 
Questa eguaglianza conduce immediatamente al teorema di Eulero, ed alla nozione del- 
1 
l'indicatrice di Dupin e delle curvature media e totale, misurale da —(3^,+ 0^.,) ed 
Ora consideriamo una linea a tripla curvatura (p, r, r) in uno spazio lineare a quat- 
tro dimensioni, e ricordiamo che, per l'immobilità del punto (è,, è;,; i^, è) riferito alla 
