per oD=x^^x„=x^z=:0. Dunque 
— 7 — 
— — * (a, , «2 , «3) . 
P 
La discussione di questa formola dà risultali completamente analoghi a quelli della 
teoria delle superficie, ed in particolare conduce a considerare tre curvature principali, 
corrispondenti agli assi del cono quadrico *=0, luogo delle tangenti alle infinite as- 
sinlotiche, reali 0 immaginarie, che passano per ogni punto. Il prodotto delle curvature 
principali è appunto G, e può servire a misurare la curvatura totale, mentre gl'inva- 
rianti ortogonali 
misurano piuttosto due curvature medie dello spazio, intorno al punto considerato. 
Se si vuole che la normale allo spazio generi una sviluppabile, si è condotti ad espri- 
mere, osservando le (11), che i maggiori determinanti della matrice 
0 
Ò<I) 
c)<D 
^«3 
0 
«, 
«3 
1 
0 
0 
0 
son tutti nulli, vale a dire che si ha 
()4> i)<I> 3* 
e si ritrovano così gli assi di I sistemi di curvatura dello spazio sono dunque carat- 
terizzali dal costante annullarsi di T^, T,, T3. Per essi le relazioni (A.), (C) e (C) si ri- 
ducono alla forma oltremodo semplice 
Sa; „ J)ar,. ^ 
In modo analogo si potrebbe mostrare che l'interpretazione geometrica delle (10) con- 
duce per una via brevissima al teorema di Dupin. 
Ritorniamo alla condizione (4), e, tenendo conto dell'eguaglianza (9), scrivia- 
mola cosi: 
