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tenute. Intanto le formolo («) si riducono a due sole distinte, e le (5) costituiscono, In 
sostanza, una terna sola, perché si ha, in virtù di (9), 
3(^,3^ 1 / yiogQ . 51ogQ, ()logQ3 \ 1 / yiogQ, DlogQ, ()logQ, \ 
e però 
ecc. Si hanno dunque in tutto quattordici fovmoìo , che per lo studio degli spazii curvi 
atre dimtMisioni prendono il posto tenuto dalle tre formolo di Codazzi nello studio 
delle supertìcie. 
Quando lo spazio é sferico, tutti i suoi punti sono alla distanza costante R da un 
punto fisso , per cui si ha 
Questa eguaglianza, derivata successivamente rispetto ai tre archi, dà subito , grazie 
alle formole fondamentali, x^=.x^=x^=0 , e conseguentemente x=zR. Portando que- 
sti risultati nelle predette formole si trova che dev'essere 
Finalmente le formole («), (p) e (P') sono identicamente soddisfatte, e restano soltanto 
le condizioni (r) e (5) , nelle quali 
^n— '^2i— '^33= ^ » G,3=:G3i = G,2=0. 
Le sei relazioni così ottenute caratterizzano dunque gli spazii sferici. Esse sono do- 
vute al Prof. Beltrami, ed includono, per R crescente all'infinito, le formole di 
Lamé, caratteristiche dello spazio euclideo. 
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