§1- -2- 
che stabilisce la reciprocità fra le radici dell'equazione f(x)=0, attualmente, in virtù 
della relazione (1), diviene 
6* x b*~ k x = 1 , (2) 
(k = 0, 1, 2,...,«-l). 
Le equazioni abeliane reciproche provenienti dall'ipotesi (1) si diranno equazioni 
abeliane della classe (II). 
Dalla (2), per A; = 0, si ha l'equazione seguente: 
xb*x=l, (3) 
La quale mostra che il parametro 4 è l'esponente di e nella radice, ^x, reciproca della 
radice iniziale x. La radice reciproca di co può supporsi che sia una qualunque delle 
rimanenti 0a?, 6 ? <r, ecc., e quindi può farsi £=0, 1 , 2, — 1. 
Nelle equazioni abeliane della classe (I), in luogo dell'equazione (3), si ebbe la 
seguente : 
n 
x 6 * x = 1 ; 
fi 
dalla quale risulta che nelle dette equazioni è costante l'esponente, — , di e nella ra- 
n 
dice, Q~x, reciproca della radice iniziale x, qualunque questa sia. Invece nelle equa- 
zioni abeliane della classe (li), che ora si prendono in esame, l'esponente i nella ra- 
dice ^x, reciproca di x, varia con la scelta della radice x. Ed in vero, se in luogo di 
questa se ne considera un'altra, per es. x', ed è x'=Q k 'x, allora l'equazione (2), che 
può scriversi 
assume la forma seguente: 
6*- ft V. x= \ , 
e da essa, per k=^k\ si deduce l'altra 
la quale prova la verità della precedente asserzione. Se, dunque, si dinota con è' l'espo- 
nente di o nella radice 9*V, reciproca di x (=b k 'x), si ha 
. (4) 
ovvero, per evitare esponenti negativi, 
£=6-2*'+ imi, (4') 
dove per \m basta prendere il più piccolo dei multipli positivi di n per i quali il se- 
