§1. -4- 
secoiulo dei valori (G), allorché 4 è pari, ovvero solo il primo di quei valori, allorché 4 
è dispari. Si conchiude perciò che: 
(a) Se x è una radice qualunque di un'equazione f(x)=0 abeliana, della 
classe (II) e di grado n, e sei è V esponente di e nella radice e $ x reciproca di x, 
le n radici di f(x)=0 formano i due sistemi seguenti: 
(x , 6x , . . . , e' _, x , &x ) 
in ogn uno dei quali sono reciproci i termini estremi e quelli equidistanti dagli 
estremi. Se n è dispari, fra le radici di f(x)=0 ve n'e sempre una, tale , die , 
presa come radice iniziale, i due sistemi precedenti si riducono ad uno solo ; 
in vece, se n è pari, ciò può avvenire solo allorché l'equazione f(x)=0 ha una 
radice x tale che nella radice reciproca 6 $ x l'esponente 4 e impari, ed in questo 
caso le radici atte a compiere l'ufficio della detta x sono due. 
L'esponente 4 (*) nella radice tf>x, reciproca della radice iniziale a?, essendo arbitra- 
rio, si potrà supporre pari od impari. A queste due ipotesi corrispondono, come risulta 
dall'analisi seguente, due sottoclassi di equazioni della classe (II). 
La relazione (4 ) mostra che 4=0 se 
e che 4= 1 se 
* = Ì±^, (7) 
A , = 4-i+^ . (g) 
Dalla formola (7) si hanno due soli valori di k' da prendersi in esame, corrispon- 
denti a n=0, p.= l , ed altrettanti se ne hanno dalla (8): queste due coppie di valori 
sono le seguenti: 
Da esse si ricava che: 
(b) Per n pari , se l'esponente principale 4 è pari, l'equazione f (x) = 0 ha 
i li" 
due radici {cioè 6 8 x, 6 8 x) tali che gli esponenti di e nelle loro radici recipro- 
che sono uguali ad 1. . ^ n 
(c) Per n impari vi è una (sola) radice (cioè e T x, se 4 è pari, o tr r x, se 4 è 
dispari) tale che nella radice reciproca l'esponente di 6 è nullo, ed un'altra 
(*) L'esponente 4 sopra detto sarà denominato, per brevità di linguaggio, esponente principale. 
