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Suppongasi n pari. Se o si determina in guisa che le equazioni (14) [cioè le (11) 
e (13)] abbiano una radice comune x, e con questa, mediante la funzione generatrice 0, 
siasi composta l'equazione abeliana f(x)—0, tale equazione avrà in comune un'altra 
radice con le (14), in virtù della proposizione (d). Perciò se quelle equazioni hanno una 
radice comune, ne avranno di conseguenza anche un'altra. E precisamente se x è una 
radice comune alle equazioni (14), cioè una radice di f(x)=0 tale che nella radice re- 
ciproca ^x risulti i—O, sarà, in virtù della proposizione (6), Q T x l'altra radice 
comune. 
Similmente dalle medesime proposizioni (d) e (b) deriva che se le equazioni (15) 
hanno una radice comune x, cioè una radice di f(x) — 0 tale che nella radice reci- 
proca 6 £ j? risulti è=l , quelle equazioni avranno anche un'altra radice comune, espres- 
n 
sa da b^x. 
L'esistenza di due radici comuni nel sistema (14) o nel sistema (15) viene pale- 
sata anche dalla forma slessa di quei sistemi; in ognuno dei quali, se si muta x in fix, 
non si fa altro che invertire l' ordine secondo cui si succedono le equazioni che prece- 
dono l'ultima, come è facile verificare; mentre poi l'ultima diviene un'identità. 
Una radice x comune alle equazioni (14) non può essere che + 1 o — 1 , come ri- 
sulta dalla prima di esse. Se si sceglie x—\ , la penultima delle (14) diviene 
8^(1) = ±1: 
n n 
e siccome non può essere e 2 (1)=1, altrimenti si avrebbe q*x=x, e non sarebbe nella 
n 
serie (5) e"a? il primo dei termini che riproducono x, così dovrà essere e 4 (l)=— 1. Al- 
lora, esprimendo che le equazioni (14) hanno la radice x=l comune, si ottengono le 
seguenti equazioni di condizioni 
e(i).e"- 1 (i) = i 
6 2 (1)- 6"- 2 (l)= 1 
6^~ 2 (i).e"^ 2 (i)=i | (16) 
e^ _1 (i).e^ +1 (i) = i 1 
6^(1) = — 1 1 
6"(1)== 1; ! 
