§1. -8- 
le quali, in virtù della penultima di esse, si possono scrivere anche come segue: 
6(i).e T ' l (-i)=i 
e s (i) . _2 (-i) = i 
e 3 (i).e^- 3 (-i) = i 
e 2 . e 2 (— i) = ì 
e 2 e = ì 
e%) = -i 
6"(1) = 1; 
e sotto quest'ultima forma esse rivelano immediatamente l'esistenza dell'altra radice 
comune x'=— 1 [— 8~(1)], giacché la sostituzione di —1 in luogo di +1, in esse, fa 
solo mutare l'ordine nella loro successione. 
Le relazioni che devono intercedere fra i coefficienti della funzione 6 Or) affinchè le 
equazioni (14) abbiano una radice comune sono dunque espresse dalle equazioni (16) 
o dalle (17), che sono più semplici delle (16), e delle quali alcune possono essere con- 
seguenza di altre, come si può vedere negli esempi che si recano in fine di questo §. 
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11 numero delle equazioni (17) è — + 1 ; e però si hanno, al più, — equazioni di- 
verse di condizioni fra i coefficienti della funzione 6(r). 
Determinata la forma della funzione Q(cc) corrispondente alle equazioni (17), le 
quantità 
1 , 6(1) , 6 2 (1),... , 6*(1)(=-1), 0» +I (l), ecc. (18) 
sono a due, a due, reciproche; e precisamente sono reciproche 8*(1) e 6*~*(1). Oltre a 
ciò il termine 8 n (l) della serie (18) riproduce il primo 1 ; e però se e n (l) è in quella serie 
il primo dei termini che riproducono 1 , allora i primi n termini di essa saranno le 
radici di un'equazione abeliana f(x)=Q di grado (pari) n e della classe (II). Ora affin- 
chè nella serie (18) sia 6"(1) il primo dei termini che riproducono 1, è mestieri che 1 
non sia radice di nessuna equazione della forma (13), ma con esponente di 6 minore 
di n. Di tali equazioni però vanno prese in esame solo quelle nelle quali l'esponente 
di e è un divisore di n. Imperocché se fra le equazioni della forma (13), soddisfatte dalla 
radice 1 , è 
b a (x) = x (19) 
quella nella quale 6 ha il più piccolo esponente, e sono q ed s il quoziente ed il resto 
della divisione di n per a, allora l'equazione (13) che può scriversi 
G s V ia x = x, 
