§1. -lo- 
zioni (15) abbiano una radice comune x' [nel quale caso avranno comune anche l'al- 
tra radice ff*a}'(==x ')y, allora i termini della serie 
s fi n 
x', bx\ 8V, 0\c\ 6 i+ V, ecc. (20) 
sono a due, a due, reciproci; e precisamente sono reciproci Px' e 6 n ~* + V. Inoltre è 
eV=a?'; e però se nella serie (20) è 6V il primo dei termini che riproducono x\ si 
conchiuderà che i primi n termini di delta serie sono le radici di un'equazione abe- 
liana «/(a?)— 0 di grado n e della classe (II), fra le cui radici trovasi la seconda, x", 
delle radici comuni alle equazioni (15). Affinchè poi nella serie (20) sia % n x' il primo 
dei termini che riproducono x\ non deve x essere radice di nessuna equazione della 
forma (19), dove la caratteristica e si riferisce all'attuale funzione 6 (a?), e dove, come 
fu visto precedentemente, a è un divisore di n. 
Se x non è radice di nessuna delle equazioni della forma (19), non lo sarà nep- 
pure x''(=Q*x'), essendosi ciò poco innanzi dimostrato. 
I due sistemi (5) e (5") diventano presentemente i seguenti: 
[eV, e t+ V, . . . , $%'(=x") , . . . , e n -V, e n -* +1 /| 
[V-* + »a?', r~ h ^x b n x'(=x) , . . . , e^ n -V, e*' n -v] , 
(* = 1,2,3 + (*)• 
Le precedenti conchiusioni ricavate dai sistemi di equazioni (17) e (15) forniscono 
i teoremi seguenti : 
Teorema I. — Sia n un numero pari positivo e 6(x) una funzione razionale 
di x i cui coefficienti verificilino le relazioni (17). Sia inoltre a (<n) uno dei 
divisori positivi din, e l'unità 1 non soddisfi alcuna equazione della forma 
6 a x = x ; 
allora sarà 
\_x-\~\ [*-6(i)] [*-e«(i)] . .. [*-0*-*(i)] = 0 
un' equazione abeliana della classe (II), e l'unità —1 [espressa da Q ' z {\)\ sarà 
radice dell' equazione stessa. 
Nella serie 
e*(i), o^'(i), 8**(i) f ... 
^• = 1,2,3,...,|-) 
n 
(*) Per Jc = 1 i due sistemi superiori si riducono al primo, che acquista n termini; e per k = ~ +1 
quei due sistemi si riducono al secondo, che acquista n termini [Cfr. prop. (a)]. 
