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se si prendono n termini consecutivi qualunque, i primi n— 2k-fl di essi for- 
mano un sistema nel quale i termini estremi, e quelli equidistanti dagli estre- 
mi, sono fra loro reciproci, ed altrettanto avviene nel sistema formato dai ri- 
manenti 2k — 1 di quelli n termini. 
Appartiene all'uno dei due sistemi l'unità +1 , all'altro l'unità —1. 
Teorema II. —Sia n un numero pari positivo e o (x) una funzione razio- 
nale di x, i cui coefficienti verifichino le relazioni che si ottengono esprimendo 
che le equazioni (15) hanno una radice comune, per es. x', nel quale caso quelle 
n 
equazioni avranno anche un'altra radice comune x" (=8 s x). Sia inoltre a(<n) 
uno dei divisori positivi din, e la radice x (o l'altra x") non soddisfi alcuna 
equazione della forma 
b a x = x: 
allora sarà 
(x — x'){x — òx') (x — b 2 x')...{x — e n_1 x') = 0 
un' equazione abeliana della classe (li). 
Nella serie 
H-* 1+0 
se si prendono n termini consecutivi qualunque , i primi n — 2k+2 di essi for- 
mano un sistema nel quale i termini estremi, od equidistanti dagli estremi, 
sono fra loro reciproci; ed altrettanto avviene nel sistema formato dai rima- 
nenti 2k — 2 di quei termini. 
Le radici x' ed x" appartengono V una ad uno dei detti sistemi, l'altra al- 
l' altro. 
Si consideri ora il caso di n dispari. Secondo la proposizione (b) havvi attualmente 
una (sola) radice x tale che nella radice reciproca 8 S V sia £'=0, ed una (sola) radice x" 
tale che nella radice reciproca $'oo" sia 4'==1 : la prima radice è comune alle equa- 
zioni (14), la seconda alle equazioni (15). Avviene intanto che una funzione e (a?) per 
la quale le equazioni (14) acquistano una radice comune x è anche una funzione 8 (a?) 
per la quale le equazioni (15) acquistano una radice comune x", e viceversa. In fatto, 
se nel sistema (15') si suppone che 8 (a?) sia la funzione stessa del sistema (14) e che 
a?' sia una radice comune alle equazioni (14), allora il sistema (15) è verificato da 
a?=e * x (=x ) giacché sostituendo 8 * x ad x nel sistema (15), le prime di quelle 
2 « + 1 
equazioni riproducono nell'ordine opposto le identità che forniscono le prime — g— 
equazioni del sistema (14) per x=x ; e l'ultima delle (15) per a?=8 * x diviene an- 
ch' essa un' identità. 
Analogamente si vede che, viceversa, se x" è una radice comune alle equazioni (15), 
allora il sistema (14) è verificato da a?=8 1 x (—x). 
Nel caso adunque di n dispari, basta determinare la funzione 8 (a?) in modo che 
uno dei sistemi (14) e (15) abbiano una radice comune. Ora una radice comune alle 
equazioni (14') non può essere che -f 1 o — 1; e però facendo nelle (14) a?=l ovvero 
07==— 1 , si trova che fra i coefficienti della funzione e (a?) deve intercedere l'uno o l'ai- 
