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Vogliansi pure determinare le equazioni cubiche abeliane della classe (II) fornite 
dal teorema III, e per le quali e (a?) è una funzione lineare di x. 
Posto 
6 (.e) = a x -f b , 
le equazioni (22), alle quali si riferisce il teorema III per w=3, si riducono alle seguenti: 
(— a-f b) {—a*4 r ab4 r b) = l ì 
(29) 
a(— a*-faJ + i)+J=l . ) 
Sostituendo nella prima di queste equazioni al trinomio — a 2 -f aò-f 6 il suo valo- 
re - — - tratto dalla seconda, e poi, nell'equazione che così si ottiene, sostituendo in 
14- a 3 
luogo di b l'espressione aìJ ^ a , y fornita dalla stessa seconda equazione, si perviene 
all'altra equazione seguente: 
(1 — a — a") (l + fl — a 2 )« = (l -fa -fa 2 ) 5 a ; 
e siccome in e (a?) non può essere a uguale a zero, così soppresso il fattore a e fatte le 
riduzioni , la precedente equazione diviene 
« a -f 3a-f 1 = 0 (30) 
dalla quale si ricava 
a = — 
Sostituendo nella seconda delle (29) ad a 2 il suo valore — 3a — 1 tratto dalla (30), indi 
facendo di nuovo tale sostituzione nell'equazione risultante, e poi risolvendo rispetto 
a b , si ha , avuto riguardo al precedente valore di a , che 
b = —l± 1/5; 
e però 0 (x) ha la seguente biforme espressione 
e(j,)=^=^- 5 ^ — ì ±|/5 (3i) 
dove i due segni + ed i due segni — devono corrispondersi fra loro. 
L'unico divisore positivo di 3, minore di 3, è 1; ma l'unità — 1 non soddisfa l'e- 
quazione 
e (x) = x , 
nella quale 0(a?) ha l'uno o l'altro dei due valori dell'espressione (31); e però, indicando 
con e, (a?), 0,(0?) i delti valori, si hanno le due seguenti cubiche: 
{x + 1) [ x _ 0i (_i)J y - o, 2 ( -1)] = o , 
(* + !)[*- 6, (-1)] [a - 8 a « (-1)] = 0 , 
