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Nelle ricerche che ulteriormente seguiranno sulle equazioni in discorso , si pre- 
senta il problema la cui soluzione è l'oggetto di questo §. 
Determinare l'espressione generale di una funzione e(x), razionale in x, 
la quale abbia le due proprietà definite dalle seguenti equazioni identiche 
b\x = x; (2) 
nella seconda delle quali n è un numero intero positivo, assegnato, che deve 
risultare il primo fra quelli esponenti v di e per i quali e v x riprodicce x. 
Pongasi 
_ a,./ + a r - l ^"'+.- + a l x+o 0 
dove alcuni dei deficienti a o b si possono supporre uguali a zero senza ledere la ge- 
neralità delle conchiusioni che in seguilo si trarranno. 
Sostituendo nella (3) — - alla quantità arbitraria se, e tenendo presente l'equa- 
zione (1), si ha: 
e.r -f <i- t (fo) 1 + • • • +^ 0 (^) r _ j_ 
cioè: 
(a 0 s — i 0 ) (6x) r -f (a, x — &,) (bx) r - 1 + . . . + (a r _, a; - &„_,) 0* -f a r x — i p = 0 . 
Adunque la funzione e (a?) rappresentata dalla (3), se gode la proprietà definita dal- 
l'equazione identica (1), deve potersi esprimere anche come radice dell'equazione pre- 
cedente quando in questa si consideri e (a?) come incognita. E poiché 6 (a?) deve essere 
funzione razionale dei coefficienti di detta equazione, così la determinazione di 6 (a?) è 
ridotta a quella delle radici razionali dell'equazione in discorso. La quale, ponendo 
*(*) = — r-r-i " < 4 ) 
a 0 x — b 0 
si trasforma in un'altra che ha per coefficiente di y l'unità, e per termine noto 
(a r x-b r ) (n 0 x-b 0 y- l ; 
e però una radice razionale, y, dell'equazione trasformata dovendo essere un divisore 
