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del precedente termine noto, può solo avere una delle seguenti espressioni: 
y = àz(a r x-b Q ) K , (*=1 ,2,...,r-l), 
y = ±(a r x-b r )(a 0 x-b 0 f , (le = 0 , 1 , 2 , . . . , r- 1) , 
in virtù delle quali, avuto riguardo alla relazione (4), e(^) assume l'una o l'altra delle 
forme seguenti 
t(x) = (a 0 x-b 0 ) K - 1 , (fc=l,2,...,r-l), ) 
Q(,r) = (a r x — b r )(a 0 x-b 0 ) k 1 , \h — 0 , 1 , 2 , .. . , r— 1), 1 
dove il segno ± proveniente dai precedenti valori di y si è supposto incluso nei valori 
indeterminati di a 0 e b 0 . 
Assumendo per 6 (x) la prima delle precedenti espressioni, se si cangia in essa x 
in e poi si sostituisce — a e ~, si avrà l'equazione seguente in 8a? 
x (a 0 — b 0 6x)* _1 — (ex)" -1 = 0 . 
Il valore intero e razionale di Q(x) dato dalla prima delle (5) dovendo essere una ra- 
dice della precedente equazione in §x, ne segue che il quoziente del termine noto a*~ l x 
di tale equazione, diviso per il detto valore di Qx, deve essere intero in x, ciò che può 
avvenire solo se con ò 0 =0 si abbia k = 2, o k=ì. 
La prima ipotesi dà 
Q(x) = a 0 x; (6) 
la seconda è da escludersi, altrimenti ea? diviene una quantità costante. 
Dalla seconda delle (5), cambiando ancora x in ~. e poi sostituendo — a ® ~, si 
VX X VX 
ottiene l'altra equazione seguente in 6j? 
{Qx) h — x(a r - b r fcc) K- 5, 8 b)*" 1 = 0 , 
alla quale deve soddisfare il valore di Q(x) dato dalla seconda delle (5). Ora se k è di- 
verso da zero, quel valore di e (a?) è intero e razionale nei coefficienti della precedente 
equazione; e però esso dovrà dividere il termine noto a r a 0 k ~ l x di detta equazione; la 
qual cosa è possibile solo nelle tre seguenti ipotesi 
(k=2 , a r = 0, b 0 = 0), (*=Ì , b r = 0), (a 0 =0, b r =0) , 
ciascuna delle quali dà per Qx un'espressione della forma (6). 
Se poi si suppone k=0, allora, il valore di Ox che si considera assume la forma 
CO 
