-23- §2. 
In virtù della legge secondo cui ciascuna delle funzioni Vx t Vx, ecc. si forma me- 
diante la precedente, si ha 
e quindi risulta 
*- 1 ""Al I "A 
, ^ = — aW^-f A Vi. ( 21 ) 
Eguagliando i due valori (22) di a\, e mutando le in k-\- 1 nella relazione che ne 
risulta, si deduce immediatamente che 
a{a h -b h )^à h {a-b). (23) 
Ora affinchè dalla (20) per k=n risulti identicamente b n x=x, è necessario e suf- 
ficiente che i coefficienti a, a, b di §(x) soddisfino le due equazioni 
o' w =0 , <*„=&„; (24) 
ed affinchè poi, nella serie x, Qx, b*x, ecc. sia e n a? il primo dei termini che riproduco- 
no x, fa d'uopo che quei coefficienti non verifichino altre equazioni della forma a v =0, 
a v =b vì nelle quali sia v<<«. 
La seconda delle equazioni (24) è conseguenza della prima, come prova l'equa- 
zione (23) per k=n, purché la quantità à non sia nulla. 
Supposto adunque che non si verifichi l'ipotesi a'=0, già innanzi esaminata, si 
dovrà tener conto solo della prima delle equazioni (24). 
Sostituiscasi nella prima delle (22) ad il valore che ne dà la prima delle (21), 
dopo avervi cambiato It in h — 1; risulta allora 
a k = aàa h _^ — d* à k _ t -\- b et- ^ . (25) 
Dalla prima delle (22), dopo aver mutalo k in k — 1 , si ricava che 
a ' a k-2 = a \-i — ?> a 'h-ì ■ 
Sostituendo il precedente valore di da^ nella (25), questa si riduce all'altra 
la quale, ponendo per brevità 
a + 5 = è , ab + d 2 = x\, (26) 
