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ha la forma della seguente : 
— 2G — 
a-\-x b c 
b d-\-x e 
c e f-\-x 
= 0, 
la quale, come è noto, ha tutte le sue radici reali. Dunque l'equazione (30") dà n — 1 
valori reali per — , e però se la quantità -q si assume reale e positiva, è, risulta reale, 
e viceversa. 
Se si pone 
si ha, dall'identità (32), che il polinomio 
l-lr*+a(-ir*- |/*) + . . . +KN'" 4 M)+m(|/5i)- 1 
è razionale rispetto ad tq; per la qual cosa deve essere a—c=e....=0, e quindi l'e- 
quazione (30) si riduce all'altra 
4"-'+ b è" -3 ti + . . . + Z ~ n 2 *~ V -r- ecc. = 0 , 
la quale ha la radice è = 0 se n è pari. Soppressa questa radice, ne risulta un' equa- 
fi 2 
zione che è di grado — ^— rispello a ciascuna delle quantità è* ed t). Invece la prece- 
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dente equazione è di grado — — rispello a ciascuna delle quantità è 3 ed tq se n è di- 
spari. Assumendo come incognita la quantità — : , l'equazione in discorso ha tutte le sue 
radici reali e positive, giacche p= è una quantità reale. Adunque l'equazione (30), o 
la sua equivalente (30), è, o può ridursi, dividendo per £, alla forma seguente: 
| 2V - Ar^-^-f BV 4 2(v - 2) = 0 , 
(33) 
dove v è uguale ad — — o ad —5—, secondo che n è pari 0 dispari, ed A, B, C, ecc. 
sono coefficienti numerici positivi, in virtù della regola di Cartesio sulle radici reali 
positive delle equazioni (*). 
(*) Lo sviluppo del determinante D n _, (4, ri) si può otten?re facilmente nel modo che segue. Fu 
a 
visto che se a — O, cioè se b(x) = — x, la condizione necessaria e sufficiente affinchè nella serie x, 
a 
6#, b*x, ecc. sia b n x il primo dei termini che possono riprodurre x è che — sia una radice primitiva 
n. esima di 1; nel qual caso perciò si ha 
(t)"=>- 
(a) 
