— 29 - § 2. 
l'equazione (30") è formala mediante la parte reale « di una radice * + z0 che non è 
radice primitiva della (34) perchè veritica anche la (34). 
Il numero delle radici primitive della (34) ò<p(2?ì), dove <p è il nolo simbolo della 
teoria dei numeri; e siccome le radici primitive di un'equazione binomia della forma 
a? u =l sono a due, a due, coniugale ed hanno perciò di comune la parte reale, cosi il 
numero delle parli reali fra loro diverse delle radici primitive dell'equazione (34), cioè 
il numero dei valori diversi attualmente accettabili di 77- è ,7 cp(2?j). Inoltre se n è pari, 
e solo allora, le radici primitive dell'equazione (34) sono a due a due uguali e di segno 
contrario (*), e però le seconde potenze delle parti reali di quelle radici, cioè i valori di- 
È 1 1 
stinti che presentemente può avere — , si riducono ad ^ <p(2/i). Si ha intanto, se n è 
dispari, (f(2n) = <p(n), e, se n è pari , <p(2«) = 2tp(n) , e però i valori fra loro diversi che 
£ s 1 
nella questione in esame può avere — sono, qualunque sia n, 7 9 (n). 
Le equazioni (26) mostrano che a e b sono le radici u dell'equazione quadratica 
e si conchiude da quanto è stato detto in questo § il seguente 
Teorema. Una funzione razionale e (x) fornita delle due proprietà espiasse 
dalle equazioni identiche 
Oz x 
nella seconda delle quali il dato numero intero e positivo n è il più piccolo di 
quegli esponenti v disperi quali 6 v x riproduce x, deve avere un'espressione 
della seguente forma 
[6(a;)=] 
a'x-\- b 
In essa il coefficiente a' rimane arbitràrio, e gli altri due a, b sono le radici u 
dell' equaz ione quadratica 
u 
2 — rt' 2 =o, 
nella quale le quantità iedv debbono soddisfare l'equazione qui sotto scritta 
(dove i deve figurare n— 1 volte) e non alcun' altra equazione della medesima 
forma, ma di grado minore, 
i- 
Tale equazione, che è risolubile algebricamente, dà valori tutti reali e positivi 
(*) Cfr. Teorema IV della predetta « Nota » Sulle radici primitive ecc. 
