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La funzione 0(rr), determinala nel teorema del § precedente, offre un esempio no- 
tevole di funzioni che hanno le idoneità di quelle considerale nei teoremi 1, II e III del 
§ 1. Imperocché se oc è una delle radici dell'equazione 
zO s x=l, (1) 
dove e (a?) è la detta funzione e è ha un valore determinato, scelto fra i numeri 0, 1 
2,..., ti — 1, i termini della serie 
x , 9x [ , 6 ! e" -1 *; (2) 
sono radici di un'equazione abeliana f(x)=0 di grado n e della classe (II). 
L'equazione f(x)=0 è, in fatto, abeliana e del grado n, giacché in virtù delle 
due proprietà di cui gode la funzione 6 (a?), considerata nel teorema del § precedente, 
nella serie (2) è 0 n a? il primo dei termini che riproducono co. Rimane perciò solo a pro- 
vare che l'equazione f(x) = 0 è reciproca e della classe (II). 
Ora, a motivo della prima delle proprietà di e (a?), si ha identicamente 
i i 
e*# ~~ le ' 
[§ 2 equazione (14)J; applicando l'operazione b n ~ k ad ambo i membri della precedente 
identità, e tenendo presente che è identicamente Q n x = x, risulta: 
, n-k 1 
6* a; e i = 1 . (3) 
Essendosi poi supposto che x sia una radice dell'equazione (1), si potrà, nella (3), 
sostituire 6 £ -a? ad — , ed allora si avrà 
x 
b k x 1 . 
Adunque una radice qualsivoglia x, dell'equazione f(x)=Q ì soddisfa la relazione 
precedente, la quale stabilisce la reciprocità fra le radici di un'equazione abeliana della 
classe (II), (§ 1). C. D. D. 
Nelle ipolesi 4=0, S,= l sono contenute tutte le rimanenti relative ai valori 
0, 1 , 2, . . . , n— 1 di 4 nell'equazione (1), come fu visto nel § 1; e però si può con- 
chiudere il seguente 
Teorema. Sia e(x) la funzione determinata nel teorema del § precedente e sia x ra- 
dice di una delle due equazioni quadratiche 
x^—l , x$(x) = l; 
(4) 
