§ 3. — 32 — 
allora i termini della serie 
x , e* , e* e" -1 » 
sono le radici di un'equazione abeliana della classe (II). 
Le quattro equazioni che così ottengonsi, mediante le quattro radici delle equazio- 
ni (4), sono le sole equazioni abeliane della classe (II) e di grado n, per le quali la detta 
e(.r) è la funzione generatrice delle radici. 
Oss. L'ipotesi che nella serie (2) sia x una radice dell'equazione (1) equivale a 
supporre che in detta serie vi siano due termini, p. e. tfx e 6 l 'a? fra loro reciproci. 
Giacché se è 
tfx. ^ X—\ , 
allora sostituendo 6' x in luogo di nell'identità 
e x 
1 
iTx 
risulta l'equazione seguente 
xb ul 'x=zl, 
che ha la forma della (1). 
Come applicazione del teorema precedente, vogliansi determinare le equazioni 
abeliane di grado n e della classe (II) per le quali è a = b nella funzione generatri- 
ce e (x). 
Sia ct-\~ «p una radice primitiva dell'equazione 
*"=-i; (5) 
allora, in virtù del teorema del § 2 , si ha 
è 3 
— = 4a 2 . (6) 
Dalle due relazioni 
per a=b si ricava che è 2 =4a 2 , ri=a 2 + a' 2 . Sostituendo questi valori di € ed yj nel- 
la (6), si deduce che 
e da questa relazione, tenendo conto che a'+P*^ 1, si conchiude che 
-=±-. (8) 
L'equazione (5) intanto insieme alla radice primitiva a-H'p ha pure la radice con- 
iugata * — *p che è anche primitiva, come è facile vedere; e però il quoziente ^-preso 
p 
col segno + o col segno — , esprime sempre il quoziente dei coefficienti reali di una 
radice primitiva dell'equazione (5). 
