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Da questa relazione segue che P B =0, e quindi dalla (12), per k=n, si ha che 
r(x) = x. 
La relazione precedente e la (21) mostrano che l'equazione (16) è abeliana, e che 
la funzione generatrice delle sue radici è quella data dalla (9). 
In virtù dell' osservazione fatta sul teorema del § precedente l'equazione (16) sarà 
reciproca e della classe (II) se A e B si determinano in guisa che essa abbia una coppia 
di radici reciproche. Ora tale equazione, insieme alla radice a?( = — 1 avrà pure la radice 
reciproca —( = — ), se l'equazione (13) oltre alla radice u-\-iv ne abbia un'altra della 
OC \ U J 
forma Xy + i\u, dove X è una quantità reale. Sia dunque 
(X»-f-iXw) n = A + ?B. (22) 
Uguagliando le norme dei due membri della precedente equazione si ha che 
\ ìn {u ì ±v-) n = A s + B 2 ; 
e siccome dalla (13) si ha pure che 
<y + ,;T=A s +B' 2 , 
cosi deve essere x 3 "=l ; e poiché x è una quantità reale, deve essere X=± 1. Molti- 
plicando membro a membro le equazioni (13) e (22) si ha che 
(Xif (w 2 + v*) n = A 3 — B s + 2 A Bi 
cioè 
(X0 M (A 2 + B») = A 2 — B 2 + 2 A Bi. 
Da questa relazione, nei cui membri devono essere rispettivamente uguali fra 
loro i coefficienti delle unità 1 ed i, nascono le seguenti solo possibili combinazioni 
intorno alla forma del numero n ed ai valori che possono avere le quantità A e B, 
allorché l'equazione (16) è reciproca e della classe (II): 
n=4q, 
X = ± 
1, 
B = 0, 
(23) 
n = 4q -{- l , 
x = 
1, 
A=B, X = — 1 , A = — B, 
(24) 
n — 4q + 2 , 
\=± 
1, 
A = 0, 
(25) 
n = 4q -j- 3 , 
x = 
1, 
A= — B, X = — 1 , A = B . 
(26) 
