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punto di vista generale, indicando un metodo, basalo sulla ricerca dei polinomi inversi 
di Appell, per la risoluzione, almeno formale, della questione: Essendo data la fun- 
zione A (x ,y), la linea d'integrazione X e una funzione analitica <?(x) regolare nei punti 
della linea X, determinare la funzione F(z), che soddisfa all'equazione (2). Trattò in ap- 
presso le proprietà, non solo formali, ma effettivo dell'operazione funzionale (2) per il 
caso che la linea d' integrazione si riduca ad un circolo del piano z c che la funzione 
data A (a? ,y) sia uniforme e nulla di prim' ordine per y = co, e che i punti singolari di 
questa funzione sieno le coppie di valori che verificano un'equazione algebrica f(r, y)=0 
di grado m. 
La ricordala Memoria di Abel e gl'importanti lavori del prof. Pincherle, mi 
hanno suggerita l'idea del presente lavoro, nel quale mi sono proposto di studiare la 
dipendenza e le proprietà di due funzioni legate da un'equazione della forma 
dove l'integrale s'intende esteso in un senso determinato lungo la linea chiusa X, e di 
servirmene al calcolo di alcuni integrali defluiti ed agli sviluppi di funzioni analitiche 
in serie di altre funzioni. 
In lutto ciò che segue diremo, secondo Ab el , F(s) la funzione determinante di <p(a?) 
rispetto alla linea X,e<p(a?)la funzione generatrice di F(z), e scriveremo F (z) = <p (a?), 
2. L'operazione <§ a da eseguirsi sopra una funzione data F(z) per ottenere <t{x) è 
generalmente funzionale rispetto a F(z), vale a dire dà luogo ad una nuova funzione, 
che in certi intervalli 0 campi resta caratterizzala e determinata dalla funzione F(2), la 
quale perciò si è chiamata determinante. Infatti si sa che se F(z) è una funzione anali- 
tica uniforme della variabile z, regolare in tutti i punti della linea X, l'espressione (3) 
rappresenta in tutto il piano x una funzione analitica uniforme e continua *). JVe deriva 
che siccome il valore dell'integrale (3) è eguale alla somma dei residui della funzione 
e~ x '~ F(z) rispetto ai punti singolari di questa che, in numero fluito, cadono dentro X, la 
funzione generatrice <p(.r'), presa successivamente rispetto a due contorni chiusi Xe x', 
*) Se si sviluppa e xz secondo le potenze di acz e si pone C == I - — . — dz, la relazione (3) 
2vn J x ni 
diventa 9 (ce) = £ C„cc". Ma se indichiamo con M il massimo modulo di F(s) lungo la linea X, con p. il 
(3) 
F (3). 
massimo modulo di z e con cr la lunghezza del contorno, si ha 
e quindi 
onde la funzione <p (x) equivale ad una serie di potenze intere e positive di x convergente in tutto il 
piano, e perciò rappresenta una funzione analitica uniforme e continua. 
