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manterrà lo stesso valore tutte le volle che nell'interno dei due contorni dati la funzione 
da integrarsi avrà le stesse discontinuità, mentre invece se dentro il contorno X cadranno 
delie discontinuità che non sono in X', o viceversa, i valori dell'integrale lungo i due 
i ontorni dati saranno generalmente diversi. Risulla dunque che la funzione y(x) può 
prendere in tutto il piano della variabile diversi ed anche infiniti valori a seconda della 
linea d'integrazione. 
Consideriamo i casi più notevoli ai quali può dar luogo l'operazione <§ a applicata 
ad una funzione uniforme F(z) discontinua in un numero qualunque di punti, che pos- 
sono essere degli infiniti o dei punii singolari essenziali. Supponiamo prima che la fun- 
zione F(z) sia regolare in tutta l'estensione del piano, tranne in un numero finito di 
punti « 8 ,. ..,«vj essa, in un contorno contenente questi punti, sarà della forma 
ew+ l°'(^) 
dove 6(2) indica una funzione regolare nel contorno e G<^-^ una funzione razio- 
nale 0 trascendente di — — secondo che «i è un infinito ordinario 0 un punto essenziale 
z— a £ 
della funzione F (z). Ma la funzione 
fc=I v v 
oltre ad essere regolare in tutto il contorno, è per ipotesi regolare anche fuori di esso, 
onde si riduce ad una costante, e perciò si può scrivere a meno di una costante addittiva 
ossia 
V 00 
t -l >!=0 V *' 
Ora la funzione e~ ay è regolare in tutto il piano, e per conseguenza applicando all'inte- 
grale (3), ove si ponga in lungo di F(z) lo sviluppo precedente, il teorema di Cauchy, 
si ottiene 
i—l n—O * 
ossia 
(4) C^) = SÌ L # L - B ^ a< 
fai n=0 
Questo risultato sussiste altresì per v = oo , vale a dire anche quando la funzione 
