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F(z) animelle un numero infinito di singolarità in punti isolati , purché il modulo della 
funzione F(z), per z crescente all' in Anito, abbia per limile lo zero. Infatti, posto che « di 
queste discontinuità sicno interne a X, che per ora supporremo un circolo avente per 
raggio p e per centro l'origine, e che quindi un numero infinito di esse cada esterna- 
mente allo slcsso circolo, sappiamo che si ha 
2mJ y — z K) f 1 x \z — aj 
P 
ed indicando con 2«p la lunghezza del circolo, con pe° l'affisso di un punto situalo 
sulla circonferenza, si può anche scrivere 
1 p F(y)c7y = K P F(p e ' Q ) 
2?'it u y — z p 1 ' 9 — z 
p 
dove K è il fattore di Darboux. 
Se ora si ammette che per valori indefinitamente crescenti di p il modulo di F(pe <6 ) 
diminuisca indefinitamente, T integrale tenderà a zero con — , e quindi 
t— 1 v w 
d'onde si deduce come prima 
(5) <%jf(s) =2 2 * n *- xai ■ 
Supponiamo in secondo luogo che la funzione F(z) ammetta un numero infinito 
di punti singolari essenziali «^«s,... e che del resto si comporti regolarmente nelle vi- 
cinanze di ogni punto determinato non appartenente a questa serie. In questo caso è 
necessario ammettere che questi punti si succedono a distanze che decrescono indefi- 
nitamente , onde potranno esistere uno o più punti limiti, che sono delle singolarità di 
seconda specie della funzione data. Riferendoci al caso più semplice, in cui esista una 
sola singolarità di seconda specie, che indicheremo con «, è sempre possibile concepire 
questi punti disposti in modo da avere 
I a t — a i > I a s — a | > . . . lim. | a n — a | = 0 . 
Discende allora dal celebre teorema di Mittag-Leffler, che esiste una serie di 
funzioni trascendenti 
>\z — aj \z — aj 
tali che la differenza 
