elio comprenda il teorema di Mourphy, consideriamo dapprima il caso, in cui, posto 
(f(oc)= — j é"F(z)dz. la funzione generatrice <p(a?) sia data per mezzo di una serie di 
potenze intere e positive di x convergente nel piano della variabile. Allora la determi- 
nazione di F(z) può esser falla mediante un'integrazione delinila nel seguente modo. 
Si consideri l' identità 
1 
e- {z - y) «dx = 
z — y 
e si moltiplichi ambo i membri di questa per z-r¥(y)dy. Integrando lungo un contorno X 
sufficientemente piccolo e scelto in modo che, essendo z l'affisso di un punto regolare 
esterno a x, la parte reale di (z—y) sia costantemente positiva e la funzione F(y) non 
abbia altra singolarità che un punto essenziale « interno a X, per la teoria dei residui 
si ha 
ossia, poiché le integrazioni si possono invertire, 
0 A 
da cui, sostituendo, si ricava 
(7) F(*)= I e~ 2X (f(x)dz. 
o 
Per ottenere da qui il teorema di Mourphy basta confrontare quest'ultima colla 
equazione 
da cui siamo parlili. Si ha evidentemente che 9(0?) è eguale alla somma dei residui della 
funzione e" s F(z) rispetto ai punti singolari che cadono dentro il contorno X, cosicché 
se per ipotesi la funzione F (3) non ammette entro x altra discontinuità che l'infinito 3 = 0, 
per definizione di residuo si avrà 
9(0;) = al coefficiente di — nello sviluppo di F(z)e X2 
z 
che è appunto il teorema di Mourphy. 
Ne deriva che se a^a^a^,... è una serie di quantità, di cui i moduli non crescono 
indefinitamente e si pone 9(#) = S — a? n , si ottiene che è F(3)=H- )! q per tutti i valori 
0 ni 0 z 
di z, la cui parie reale è maggiore del raggio di convergenza della serie £a B z . Lo stesso 
0 
risultato, com'era prevedibile, si otliene altresì dalla (4) laddove si ponga i=l ed ^=0. 
