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Supponiamo ora più generalmente che la funzione generatrice 9 (a?) sia data sotto 
La forma 
<p(x) = f{x , e~ ax , sen $x , cos yx , . . . ) 
dove / è un simbolo di funzione intera qualunque. Sostituiamo alle linee trigonome- 
triche i loro valori in esponenziali e mettiamo <f(cc) sotto la forma 
V 
dove ?i(o?) sono delle funzioni intere e in generale trascendenti di x. Posto allora che 
si abbia 
— «oi+^f*^^' 
risulla evidentemente dalla (4) che dovrà essere 
(8) 
F(*)=22 
per tutti i valori di z, tali che la parte reale di 3 — «. sia maggiore del raggio B t - di con- 
vergenza della serie 2a. n 3 n , essendo «' = 1,2, 3 , . . . ,v. 
Nel caso che v risultasse infinito si può ottenere una soluzione per mezzo delle 
formole (5) e (6). 
3. Proprietà delle funzioni generatrici e delle loro determinanti. — Dalle conside- 
razioni che precedono si ricavano facilmente le seguenti proprietà: 
1. " Se la determinante di una funzione è nulla, anche la funzione è nulla. 
2. a La funzione generatrice della determinante di una funzione data è la fun- 
zione stessa. 
3. a Una stessa funzione ammette diverse determinanti (o generatrici) a seconda 
dell'intervallo, o campo, nel quale si considera. 
4. a Se due funzioni in uno stesso intervallo, o campo, ammettono la medesima 
determinante (o generatrice) sono eguali, e viceversa. 
5. " L'operazione CD è distributiva, vale a dire si ha 
(*) © a [ ?,(*) + iM + ■■■ + ] = <£»¥i(fc) + $>M*) + • • • + > 
ed indicando con m una costante 
(b) (& z [m< ? (r)]=m(£) z < ? (x) . 
6. a L'operazione CD gode altresì della proprietà 
(c) (&M X ±a) = e~ az ì 
