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5. Sviluppi in serie. - Indichiamo col simbolo che diremo la prima diffe- 
renza simbolica di 9(3»), la funzione 
y (,f -f h) — g 9(j) 
dove a? è la variabile indipendente, « ed A sono delle quantità qualunque. 
Ripetendo su 89(0?) la stessa operazione si avrà la seconda differenza simbolica, 
che indicheremo con &<?(oc) e così di seguilo. Ciò posto, dalle (6) e (c) si ottiene facil- 
mente 
e~ xh — et 
<B a [&9(*)] = — ^(B s 9(*) . 
e più generalmente 
la quale, se si sviluppa (é~ zh — *)" con la formola del binomio, diventa 
Ora prendendo la funzione generatrice d'ambo i membri risulta 
(17) (-WM^WlII)^ 
che invertita ci dà 
(18) 9(a -f- nh) = fe"»^) — + ^~ ^ a^ n - 2 5 n - 2 9 (a;) 
Premesso questo, indichiamo con P 0 (#) , P 4 {a?) , P 2 (a?),... un sistema di funzioni 
analitiche, 0 polinomi definiti dallo sviluppo seguente 
(19) (hv + afV(v) = P 0 (aO + P^v + P&y + . . . 
e~ th — a - 
e poniamo v=— ^ — , d'onde si ricava e * . Perciò, se si rappresenta con 
4>(s) ciò che diventa la funzione ty(v) dopo la sostituzione, si ha che lo sviluppo pre- 
cedente diventa 
e — zh a lé~ zh a\ 2 
(20) *—♦(*) = P 0 (.x) + P,(*) ^— + P s (x) ( — J -f • • • 
Sia ora ¥(y) una funzione analitica uniforme data nel piano della variabile y , e 
supponiamo che nell'interno di un contorno a ammetta per determinante la funzione 
