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f(~) 
f(z). Chiamando <?(y) la funzione generatrice del rapporto £~ rispetto aMa parie di 
piano limitata da a, potremo scrivere 
e quindi, sostituendo, il precedente sviluppo diventa 
e-*'®,W(!t) = P 0 («)<B,?(y) + P,(») ^^<©,?(y) + P a («) (*~"~ + • • • 
ossia, prendendo la funzione generatrice d'ambo i membri, 
(22) F(a + y) = P 0 (*)<p(y) + P,(*)*(y) + P.(*)&My) + • • • 
che è lo sviluppo della funzione F(a? + #) secondo i polinomi P n (a?) e le differenze sim- 
boliche di un'altra funzione <?(y). 
Se in particolare facciamo <* = 1 ed indichiamo con Q n (sc) ciò che diventa in questa 
P (x) 
ipotesi il polinomio , si ottiene 
(23) F(a> + y) = Q 0 (oc)<t(y) + Q t (x) Acp(y) + Q t (x) A>(y) + . . . 
dalla quale, facendo decrescere h indefinitamente, si ricava 
(24) F(x + y) = R 0 (*)<p(y) + R^My) + R 8 («)?"(y) + • • • 
dove R m (a?) non è altro che il coefficiente di z m nello sviluppo della funzione e~**$(z) 
secondo le potenze di z. 
6. Come un esempio degli sviluppi generali che precedono possiamo considerare 
oc 
la serie di polinomi, che si ottengono dallo sviluppo della funzione (h v + J0° J n 
serie ordinala secondo le potenze positive di v. Si ha 
v T L ~ a ' 2! a 2 ~ 3! a 3 ~ J 
ed anche 
dove 
B 0 =l , B 1= =I , B ì= l , B, = -Ì , B 6 = ^ B 3 =B 5 = B T =... = 0 
sono i numeri di Bernoulli definiti dall'eguaglianza simbolica 
(B + l) v — B v = v *) |v = 0, 1,2.3,4,...! 
*) V. Cesàro, Sur les nombres de Bernoulli et d'Euler — Nouvelles Annales, S. 3 e , T. V, 
p. 306. 
