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dalla qualo si ricava subilo 
(28) PJs) = P„(* - k) + - le) + /c J P n _ 2 (^ -&) + ... + ft"P 0 (* - ft) 
Nel caso che fosse «= 1 e lim. /i = 0, chiamando, come si è fallo più sopra, R n (a?) 
il polinomio che si deduce da P»(a?) nella nuova ipolesi, si avrebbe che la (22) si tra- 
sforma in quest'altra 
e quindi 
b «" 
(29) R n (x) = R B (0)+ I R n _ i (x)dx , R B (0) 
R„-,( 
so « e pan 
0 se n> 1 è dispari 
per mezzo della quale si possono calcolare i polinomii R„ di volta in volta. 
In questa slessa ipotesi la (20) prende la forma 
F(x + y) = R 0 (x)9(y) + R^'OO + R,(«0?"(2O + • • ■ 
e la funzione resta determinata per mezzo di F(y) dalla relazione semplicissima 
?(y)=2^r DVr ' 1F (2') - 
1 
da cui si ottiene successivamente 
o*'(y) = E(y + a) — F(y) 
a 9 < B) (3/) = F ( % + a)-F<">(y). 
Potremo così scrivere 
(30) F<„ + „ = I /p Wy + R,(«) F( " + y >- FM + R,(,) + + 
Ponendo in quest'ultima a J r y = Y, essa diventa 
(31) + y) = [ med.F(2/) f 4- R,(*) [ med.F'(y) ] Y + R,(«) [med. F"(y) ]" + ••• 
y y y 
che offre lo sviluppo (io credo importantissimo nelle Matematiche applicate per la solu- 
zione approssimala dei problemi) di una funzione secondo i valori medi della funzione 
stessa e delle sue derivate in un dato intervallo. Quando l'intervallo considerato (Y,y) 
diminuisce indefinitamente, vale a dire a tende a zero, la serie (31) si trasforma in 
quella di Taylor, come è facile verificare. 
Derivando la (30) rispetto ad y e ponendo in essa a?— 0, si ottiene la nota formola 
di Sliiiing 
F(a + y) - F(y) = aF\y) - B x a [ W'(a + y) - ¥(y) ] + [F> + y)- ¥\y) ] + . . . 
