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Un'altra forinola interessante si ottiene dalla (30) quando si sostituisce — x in 
luogo di x e si suppone essere F(y — x)=— — ed a = l. 
y f 
Si ha allora 
(3o )y 4_ = | 1 „ s(y+1) _ l0gy] _ R , ( _ ) [i_^j +Ks( _. ) [;l i _ (T ^ i ]_ 
dove i coefficienti polinomiali sono a meno di una costante i polinomi di Bernoulli, 
che si sogliono indicare coi simboli , ?i (a?) , . . . , <p» (a?) , . . . Si ha infatti 
— R, (— x) = x+ -I — cp 0 (V) + y 
M-») = ^'+|-+f2 = *i(»)+^ 
35 Qf*^ OC 
-2!R a (-a ? ) = -+~ + - = <p i ( i ») 
3 ! R 4 (- «) = \ + 1 + £ + ± = ? + ± 
Ora applicando al primo termine del secondo membro della (32) lo sviluppo di 
Stirling si ha 
i. E (i +S )-i, w =i-ì[i- ( ^j-i[i_ ( ^,]-i[ì- (T ^,]-... 
e, sostituendo, risulla 
«*> 7^»4 H -^ ) [7-r^] + *' w [p-(TTrtO+^ ) [?-(TTi?]+"- ' 
dalla quale, mediante il teorema di Gauchy e sotto condizione di convergenza del 
risultato, si può ottenere lo sviluppo di una funzione analitica qualunque secondo i 
polinomi di Bernoulli. 
Delle condizioni di convergenza di questa serie si è occupato il sig. Appell *), 
ma avremo occasione di riparlarne in seguito a questa Nola. 
7. Sia f(y) una funzione di y determinata e finita insieme alle sue derivale in un 
campo c, e poniamo 
*[r(y)]=Ì/(S/) • 
*) Appetì, Nouvelles Annales, Sèrie 3 e , T. VI, pag. 312 e 547. 
