Giornale di Creile, voi. 62, si trova una formola che, salvo un errore di stampa *) può 
dirsi un'estensione alla funzione ?„_ v [v-f ^-,z] della importante formola di Rodri- 
guez **); e poi nella sua classica opera « Handbuch der Kugelfunctionen, 1878 » a 
pag. 297, l'illustre Professore fa un cenno della funzione generale, che egli rappre- 
senta con C^, richiamando anche il lettore sopra un paragrafo di una Memoria di 
Jacobi, nel quale viene toccato lo stesso argomento ***). 
Non so di autori che si sieno occupati più estesamente del caso generale di p. qua- 
lunque, e perciò nel presente lavoro espongo alcuni risultati analitici ai quali son per- 
venuto studiando la funzione generale oc), e che mi sembrano degni di qualche 
considerazione. E, propriamente, in una prima parte, espongo alcune proprietà quali si 
deducono immediatamente dalla definizione della funzione, e delle quali alcune sono 
riportate anche da Heine e da Escary. In una seconda parte generalizzo la formola 
del Rodriguez, e utilizzo la formola che trovo alla ricerca di alcuni integrali definiti 
ed alla determinazione di altre forinole. In seguito studio l'integrazione dell'equazione 
differenziale lineare di second' ordine 
di cui la funzione 9 n (p.,rr) è un integrale particolare. Ed in ultimo mi fermo un po' sulla 
trascendente 
che incontro nel trattare la precedente equazione, dando per essa qualche formola di 
riduzione ed uno sviluppo in serie per mezzo delle funzioni 9. 
Detto ?„(pt,^) il coefQciente di z nello sviluppo di u secondo le potenze intere positive 
di z, si ha: 
u = 9 0 (|x , x) + 9,(11 , x) z -f 9 8 (| A , x) z* -\ \- 9> , x)z n -\ , 
dove evidentemente per qualunque valore di v- si ha <? 0 (v-,x) = l. 
< 1 - x2) ^ - ( 2ia + 1 > £ + M(n + = 0 
1. 
I. Poniamo 
*) L'esponente di z" 1 — 1 invece di — - , dev'essere 
**) Bertrand, Op. cit., pag. 356. La formola di Heine a cui accenniamo è: 
I, (i>,*)- (2n+ p_ 2 )! < J l) tó**L C * l) J" 
***) Giornale di Creile, voi. 56, § 6. 
