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4. Dalla relazione: 
Jz = 2|JL( 1 7 2xz + *' r P (x ~ ;) 
si deduce 
(1 ìl 
2ìx(x- z)u = {\ -2.cz + z*)- , 
e quindi : 
2v[l + <? t * + 9 i z* + ---](x-z) = (\-2xz + z>)[<? ) +2 9ì zi-3^-\----) , 
ed eguagliando i coefficienti di z nei due membri, 
C» + , <*) + l4*?,/P , + (» + %» - 1 ) ? n _,(ji , x) —0 *) (6) 
Questa relazione può servire a formare successivamente le ?. Ed infatti, essendo 
9„(H,a;)=ì , <p 1 f{ì,,a;)=2p,* , 
da essa si ottiene : 
«p, = | m> -I- 1 ) 6* + 2 )-* 3 - 2 i% + 1 )ì 
<P« =- -| I* + 1) 0» + 2) 0» + 3)x« - 2j*(|i + 1 ) f |i + 2)a a + 1^+1) 
La relazione (6) mostra che quando p. è un numero positivo l'equazione 
m 
9„(P->^') = ° 
ha le sue n radici reali, distinte e comprese tra —1 e + 
Infatti le radici dell'equazione 9„ (p. , a?) = 0 non possono annullare nè la ?„_, né la 
<p„*i , altrimenti si avrebbe per quei valori della a? 
9» = ?„_i = ?«- l = -" = ?«= 9i = 9o=° i 
la qual cosa non è possibile, essendo ? 0 eguale ad 1 per qualunque valore di x; ed 
allora le radici dell'equazione 9„(p.,a?)=0 fanno prendere a 9„ +1 e 9«-i valori di segno 
contrario, per p. positivo, e quindi per tale \alore di p. le funzioni 
«Po ' 9t ' f* > • • • « » 9» 
costituiscono una serie di Sturm. Ora per x= — ì si ha: 
^ n 2p(2p+l)...(2p + H-l) 
«=(14.2f+5«)-*=(l+*)-V ; e <p n 0i >a 0 = (-l)" 
1.2.3. ..n 
*) Facendo p. = — , si ha: ( n +l)X n+l — (2w + l)a;X n + nX n _, — 0. (Bertrand, Op.cit, p. 358). 
