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e per x=l si ha: 
«=(l-2.+,-r=(l- 4 )-» ; e ? >, I )= 8 ^+ 1 ) 9 -f"+'- 1 ) ■ 
1 .4.6. . ,n 
e perciò, se f* è un numero positivo, le funzioni 9 prendono segni alternati per a?== — 1, 
e tutte il segno + per a?=l ; e quindi l'equazione ? M (n,a?)=0 ha le sue n radici di- 
stinte e comprese tra — l e +1 *). 
Da quanto precede risulta che, se n è un numero pari e v> positivo, si ha: 
« , ? , . .. essendo numeri minori di 1. Se dunque il modulo di a? non è minore di 2, i fattori 
a?* — a 2 ,.r* — P 2 , ... avranno valori i cui moduli sono superiori ad 1, ed il loro prodotto 
quindi sarà infinito per ?a = oo. Inoltre avendosi: 
(l , + n-l\ ow = g t x(2 t x + 2)...(2 t i + 2n-2) 
V n ) 1.2.3...» 
per n = oo sarà infinito anche — 1 )2". 
Se fosse n dispari, si avrebbe: 
dove «,£,... rappresentano sempre numeri i cui moduli sono minori di 1. 
E quindi, anche in questo caso, se I* è un numero positivo, ed x ha un valore il cui 
modulo non è minore di 2, la funzione <p„(is#) prende il valore infinito per n=oo . 
5. Sottraendo dalla (4) la (3) si ha : 
Per n cambiata in n — 1 si ha: 
*) Per maggiori chiarimenti intorno alle radici dell'equazione <p n (ja , x) = 0 si vegga Escary 
Jfem. c#., pag. 59. Le relazioni (4), (5) e (6) sono anche riportate dall'Autore. 
**) Per it= — si ha: 
' 1 2 
(Catalan, Mémoire sur les fonctions X n de Leg endre , tomo XXXI delle Mdmoires couronnés 
de l'Académie rcyale de Belgique 1881, pag. 34; ed anche Brand, Notices sur la fonction X M de 
Le g e ndre , pag. 3). 
