7. Ponendo a?=cosa, si ha: 
1 _ 2xz -f = 1 — 2z cosa + z* = ( 1 — e*'*) ( 1 — e~*'s) , 
e quindi: 
(1 — 2xz + s 2 ) -1 '' = ( l — et"*) \ 1 — r - -j)" 11 ; 
ma 
(1 1 + ( ^ ) + (" + ') + ••• + (" + » - l )e'V +■■■' 
( 1 -^ r =l + (^)rt + (^+ l ),-»V + ... + (' , + ^- 1 ) e -- 2 -+... , 
onde : 
,.(, , „„= c + r 1 )e-»+( ; ) (" iit 2 )^^ Ct 1 ) C»-7>"- 4, " + ■ ■ ■ + 
: . +(:)Ct:7>-— ' H-rr 1 ) 
e raccogliendo i termini equidistanti dagli estremi : 
l 9 >,cos«) = ^ + ^ _1 ^cosn«4-(^^ + ^Y 2 jcos( W -2)* + ... + ^ , (14) 
lJ 
I , n 
1 V^ + t . 
dove t, ultimo termine, è uguale ad — j n j , se n è pari, ed è uguale a 
i n — 1 
il 
i T 
«li [cosa, se n è dispari. 
La relazione (14) ci mostra che, se \>. è un numero positivo, il massimo valore di 
9„ (v- , cos a) è quello che corrisponde ad a = 0, cioè a cos«=l. Ora per x—\ la fun- 
zione ?„(jx,a7) diventa il coefficiente di z nello sviluppo di (1 — 3)~ 2[1 ; e quindi il mas- 
simo valore di <?«({*•, a?), allorché la x varia da —1 a +1, n essendo un numero posi- 
tivo, è (— l) n ( _ w 2fl ), ovvero 
2 t i(2 t i+l)(2 t i+2)...(2 1 i + »-l) « 
] . 2 . 3 . . . n ' 
La relazione (14) per n= 1 diventa 
— 9 n (l , cosa) = cos na.-\- cos (n — 2)a -\- cos(« — 4)a -\- .. .-\-t , 
dove è t = ^-, se n è pari, ed uguale a cosa, se n è dispari; e quindi per una nota for- 
inola di trigonometria **) 
sen(?e + l)« , , 
9,(l.co««)= gena (a) 
*) Se si fa p. = -^-, si trova che il massimo valore di X„, allorché la x varia da — 1 a 
è l. (Laurent, Traiié d'Analyse, tomo V, pag. 190). 
**) Serret, Trattato di Trigonometria, pag. 48. 
Atti — Fof. F7J. — Serie 2* — N.° 10. 2 
