ma dalla (13) si ha: 
* t *£n" ) = 2>0» + 1 ) (pi + 2) . . . (p. + « - l) 9o (,i - 1- » , «) = 2 >(n 4* Ì) + 2) . . . Oi + n - 1) , 
quindi: 
V„=3Vf* + 1) (i* + 2) . . . (p. + n - 1) Jl [(i - i<)*H ] . 
Sostituendo questo valore di V n nella (b) si trova: 
' «!(2« + 2ji — l)(2n + 2ji — 2) . . . (n + 2|i) ^ ; ^ n L V ; J ; ^ 7 
Questa formola è la estensione della formola di Rodrigues **) alla funzione 
•PnO*,»); ed infatti, per P-=^, si ha: 
1 cT 
X " = 2".1.2.3...n dx* [ ( ^ ~~ 1 )B ] * 
La (15) contiene anche come casi particolari parecchie altre formole conosciute. 
9. La funzione Y n) (p,cc) che figura nelle citale memorie di Heine, e dove v e p 
esprimono numeri interi, com'è facile verificare, è ligata alla ? dalla relazione: 
V 
(P ' * } ^ (2v +1 ,-l)(2v+i» + l)...(p + 2»-3) ? "- V L V + ^~ ' *J 
ma per la (15) si ha: 
p— 2 
(— l)"- v (p4-2v-l)(p + 2v+l)...(^ + 2w — 3)(1 — a; 2 ) v 2 d" - 
(« — v)! (n + v-j-p — l)(«-f- v + ?j)(« + v-l-_p-(-l)...(2»+iJ — 2) cft» 
e quindi: 
2 J»-« r PS-, 
ff V» *)- (x *- iy * tii-ri&ì ***) 
(w 4- v 4-p — 1 ) (» + v + /)) . . . (2« +73 — 2) dà?' 
*) Questa formola, riportata con un procedimento diverso anche da Heine (Heine, Op. cit., 
2 (T _ 2 
pag. 298) ha una certa analogia con l'altra P n = e iC ^~z(. e x ) relativa ai polinomii di H e rmi te. 
(Hermite, Sur un nouveau de'veloppement en sèrie des fonctions , Comptes rendus, tomo 58°; 
Laurent, Traité d'Analyse, tomo V, pag. 213). 
**) Bertrand, Op. cit., pag. 356. 
***) Heine, Mem. cit., Giornale di Creile, pag. 122. (Come abbiamo dichiarato nell'intro- 
duzione, nella formola vi è un errore di stampa). 
