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In primo luogo osserviamo che se r ò minore di n, e v •+ * maggiore di zero, la 
funzione 
d r r . imi-I i 
prende il valore zero per x=.-\-\ e per x= — 1. 
Infatti, per la noia forinola sulla derivala di ordine qualunque di una funzione di 
funzione *), si ha, indicando con «, ed m 2 prima e seconda derivala di m = 1 — x*. 
^[ (l .,r»]=2K.<.^-t„ tV . •,:.;> 
dove il sommalorio si deve intendere esteso a tutte le soluzioni intere positive, lo zero 
incluso, dell'equazione « 1 +2« s =r, e v — ^+«8- Ora essendo r minore di n, sarà 
anche aj-t-2a 2 minore di n, e tale anche v che è uguale ad «,+ a 2 ; e quindi * 
conterrà certamente come fattore una potenza di u non inferiore 1 + — -5-, cioè non 
il 
inferiore a p- + — ; e perciò, se + — è maggiore di zero, tutt' i termini dello sviluppo (e) 
si annullano per 
Premesso ciò, dalla (15), chiamando J l'integrale (IV), si ha: 
dove A n indica un coefficiente numerico. Ed integrando per parti: 
f u 
e per l'osservazione precedente, annullandosi la prima parte, si ha: 
Cosi continuando, essendo m minore di n, si trova: 
ovvero: 
J = + 1.2.3... W A n j^l[(l-^r-^]J , = 0. 
*) Bertrand, Op. cit., pag. 309. 
