— 1G — 
16. Se m è diverso da n>, e i lJ r^- è maggiore di zero, si ha. 
(l-n*f *9>,*)<p m (p,x)cte = 0 . *) (16) 
Poiché, supposto m minore di /?, se a 9 (v- , a?) sostituiamo il suo sviluppo (1), pag. 3 r 
l'integrale precedente diventa la somma di tanti integrali come (IV), e quindi eie. 
17. La relazione (1G) si può dimostrare anche direttamente, evitando la rela- 
zione ^15). t 
Infatti, moltiplichiamo la (12) por (1 — a?*) 1 * - *", avremo: 
(ì - x*r 1 ~j - & + i)*(i - é*f~ * ^ + k* + ^) (i - **r 1 ?» = 0 . 
che si può anche scrivere: 
£ [(1 - tff * ^ J+ n(» + 2jx) (1 - = 0 . 
Similmente per l'indice m si trova: 
Verificandosi queste due ultime relazioni, e poiché +1 e — 1 annullano la funzione 
(1— a?") 1 **»", p- + -^- essendo maggiore di zero, per un noto teorema **), si deve avere: 
(1 — x") ' qj\>. , «)9 m (}A , x)dx = 0 . (16) 
18. Passiamo ora a determinare i valori degl'integrali (IV) e (16) quando m — n. 
Per il primo si ha, tenendo presente la (f) num. 15, 
J^(l _ a>»f " » sc"<p n (j» , x)dx = (— 1)" 1.2.3... nk n J (ì —x*)"^'* dx , 
dove 
(- 2)>(|t+;)(^2>...(i*+«— i) 
* " «!(2n + 2p — l)(2/i + 2ji — 2)...(n + 2|i) 
Poniamo 
Z n = I (1 — x' 2 ) 2 dx- ; 
-1 
*) Heine, Op. cit, pag. 299. 
"*) Laurent, Op. cit., pag. 172. 
