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E sostituendo nel 1° membro della (1) per \j la funzione U„, esso diventa: 
o anche: 
(1 _*.»)« -J *( XI ,)L_'- d, , 
a-*') 
dove 
*(x , s) = (» + 2ji — l)(s-.r) 2 + (2jA — 3)x(z — a) + (n + 2)(l— »») 
==(*+2)(l— «p.-^ (2n+.2|i+ !)*(*— x) , 
e quindi : 
dzl (z—x) n * J ' 
E perciò il primo membro della (I) per y = U n diventa: 
(*-*)- 
per qualunque valore di n, se P-+ ^~ ^ maggiore di zero. 
1 ^ 
Dunque, se ^+ -s- è maggiore di zero, la funzione 
2 
n+[i— ì 
che evidentemente è distinta da <p n (jj.,a?)> rappresenta un secondo integrale dell'equa- 
zione (I). 
24. La funzione U„ può presentarsi ancora sotto un'altra forma. 
Mediante l'integrazione per parli si ha: 
d r /i ««^-n 
*) Per la funzione U„ diventa 
: (Laurent, M?m. C27., pag. 388). 
(5 a?) 
