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serie secondo le potenze intere positive di 2, dà per coefficiente di z n la funzione tyjp,a?). 
Avremo allora: 
F(*) =<h(n . «) + Mv- » + <K0* , x)z* + ^dx , <r)* 3 + . • . + <^ n (jx , a?)*" + • • • , (in) 
e derivando rispello a e, e moltiplicando per s 21 *, 
dF 
--^,^=2^2*^ 4. 3^*»+ ...+(» f l)<k l+1 ^ +n + • • • (n) 
Molliplichiamo la (m) per z*, deriviamo rispetto a z, e poi moltiplichiamo per 2P 1 ; 
avremo: 
S* 1 £ [ ^F(*) ] - |^o^= 0 + 1)'V~ 2|1+ ' + (l* + + • • • + («+P0^ +n + • • • (P) 
Molliplichiamo poi la (m) per 3 2|J ", deriviamo rispetto a 2, e moltiplichiamo per 2 2 ; 
avremo : 
Dalle relazioni (n) ì (p),(q), tenendo presente la (23), si ha: 
0 anche: 
e per la (7): 
(1 - 2xz + *») -f 2fi(* -x)F(z) 2p^ 0 ; 
( l_2^ + ^) d l^+2,^_a;)F(z)=:H(l-^ '\ (>•) 
dove H sta per la costante 
I ' r(p. + i) 
Essendo k una costante rispetto ad x ed », potremo sceglierla in modo da avere 
H=l, cioè definirla con l'eguaglianza 
ed in questa ipolesi la (r) diventa: 
(1—2**4- z>) + 2pi(*. - <p)F<*) = ( 1 - x*f ~* , 
che può anche scriversi: 
4 [ (1 — gasa + z"-) v -F(z) ] = (1 — x"f ~* (1 — + . 
d.z 
