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29. Chiamando con h n (y.,x) il polinomio intero in x 
S>«-i(f* ■ x ) + 4 » «J % ( 1 — »* > x ) -f "I «Pn-sCl* fi,») H 1- ~ 9»_i(l — , «) , 
si ha: 
(1-^-1^,,) = ^,,)+ + — P (1 ~^ )(t " 2 rfz , (25) 
2f*|/*r(i*+l) 
e poiché sono verificate le due relazioni: 
(» + 1) <P»*i (i* . *) — 2 0 + V-) v ?»G* . *0 -H» + 2n — i) ?„_, Qi , *)=o 
(» + 1) <k,*i 0* . ®) - 2(» + M-) * , ®) + (« + 2p. - 1) 4-„_i(|* , x) = O , 
si dovrà avere anche: 
+ l)^.(f* . x)-2(n + pi) x h n (i>. ,x)+(n + 2fi— l^fo ,a?)=0 . (26) 
Questa relazione fa calcolare successivamente i valori di h n {\x,x) per i diversi va- 
lori di », tenendo presente che, per la forma di hjy-^x), si ha: 
A 0 (fi,a?)=0 , A 1 (jt,a;)=l . 
30. Da quanto precede risulta che l'integrale completo dell'equazione 
(l-x*) d ^-(2iL + l)xf x + n(n + 2v.)y = 0 , (I) 
il quale è rappresentalo da 
A e B essendo due costanti arbitrarie, può mettersi sotto la forma: 
I = A 
n ' V- i 
+ B ^t 1} 1 . (1-^)1-^ f 0 Z *~ T 2 ? >,o;) + B(l-^)l-^>, a; ),(27) 
sempre che n+y è maggiore di zero. 
31. Per p.=0, il risultato precedente diventa illusorio; però, tenendo presente 
che in questo caso l'equazione (I) diventa: 
la quale com'è noto ha per integrale *) 
Asen [«(arccosx)] -j- Bcos[n(arccosa;)J , 
b ) Laurent, Traité d' Anaìyse, tomo V, pag. 212. 
