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Se nella (29) si fa e=0, si ha: 
Y„i=(l — x*) r Yì_— xVn 
d 
Ora 
dz x-l 
Y, = f = log — — , 
2 V z — x 
e 
r (k) _ 2.4.6... (2Jc— 2) _2_ 
r^+i-) -1 - 3 - 5 --^'- 1 )^ ' 
quindi: 
Y^ = (i-^^^- 8 ,[ ( i^ r . + | ( w r +|^ ( i^ + ... + ^ : ;;g;-g ]. 
34. Cerchiamo ora uno sviluppo di in serie inflnita. 
Dalla relazione : 
(»4-l)?»*i(jA.*) — 2(n + |i)a?9 B (fi,a:)4-(n + 2iA— l)9*-iGtf*)=0 » ( 6 ) 
si ha: 
2(» + P-) » cp n O , <») = (w + 1) <p B+i (fi , x) -f (n + 2ja — 1) 9 B _,(fi , a?) , 
e cambiando x in 2, 
2(n + ji) * <p„(fi , 2) = (n + 1) <p n+1 (ft , 4+ («!+2ft — 1) 9„__ 1 G* , z) , 
e moltiplicando la prima per 9 n 0*,z) e la seconda per 9 B (j*,a , ) ) e poi sottraendo membro 
a membro, 
2 in + (t) (jr — a?) 9„(*) 9„(x) = (w + 1 ) [<f n+) (z) <f n { x ) ~ 9„(*) ?„+ 1 (*)] + 
— in + 2f* — 1 ) [9,^) 9„_,(^) — 9«0» J ) <P„_,( 2 )] » 
e ponendo : 
9r(*)9r-l(«) — 9r(«)9r_l(*) = H p , 
si hanno le eguaglianze: 
2ji (z — x) <p 0 (*) <p 0 (x) = H, 
2(l+p,)(^-« ! )9 1 (*)9 1 ( fl! )=2H 8 -2fiH 1 
2(2+ ,*) (* - 0=) * fi (*j 9 2 (x) = 3H 3 - (2j* + 1 ) H 2 
(1 
T(r) 
2( w + fA )(^_ a3 )cp n (z)9» = (n4-l)H. rt+1 -(« + 2f A -l)H i 
