396 
För dessa värden på U;^, l^u^, ^Uj, &c. gifver . 
iheoreniet III följande relation 
B i B 1 
loor(^) = I iog2^+(x- 1) iog^-x+ • - - ^ ' ;^ 
5.6 a:' "" ^ {2rn-3)[2m—2) jc-^-^ 
B,n 5 
+f_iy«4-i. 
eller, om logx addei'as på båda sidor, 
j5 1 Z? 1 
logr(^+l) - i log2^-(x+ 1 )logx-^+ _^ . _ _ _i . _ 
(68)^ + L. 
^ 5.6 ^ ^ (277z-3)r2m-2) jc'^^^-^ 
L_, 
^ ^ {2m-l)2m x-"'-^ 
da 9 är en sådan qvantitet, att o<?<l. Denna 
formel är fullkomligt generell, hvilket positift 
värde man ger åt x. Så är dock ingalunda fallet 
med de resultater, som de vanliga methoderna för 
utvecklingen af logr(x+l) gifva. Dessa gå uL ifi ån 
den delinitionen att 
logr(j:+l) ^ logl + log24- .... logo^, 
och framställa utvecklingen af summan i högra 
niembrum. Men det är tydlii^t att den på detta 
sätt funna utvecklingen strängt tas^et endast för 
liela välden på x kan gälla såsom utveckling af 
logr(^^+l). För alla andra värden är den icke 
bevisad, och kan således endast såsom interpola- 
tionsformel betraktas. Härifrån gör dock den af 
Cauchy ■■'■) franistidltla utvcckbngen af Iogr(.r+l) 
*) Excrc. d\iniilysc tt (tc P/iys. Mathcin. Toid. 11, 
pag. 386. 
